L'ordre de la nature

Mots-clés : mathématique, entropie, ordre, désordre, nature, information, classification, taxinomie

Si on peut faire une science (ou des sciences) de la nature, c’est qu’on suppose un certain ordre dans la nature puisque la science vise à ramener la diversité des phénomènes à des règles générales, à découvrir la raison de ces phénomènes et à les classer (ex. : classification du règne vivant, classification périodique des éléments naturels, etc.). Mais la nature de cet ordre reste problématique. S’agit-il d’un ordre qui caractériserait la nature en elle-même, un ordre que nous ne ferions que découvrir ? S’agit-il au contraire d’un ordre qui ne concerne que les phénomènes tels qu’ils nous sont donnés dans l’intuition sensible ? Ou encore ne s’agit-il pas seulement d’une construction conventionnelle qui n’a d’autre justification que son intérêt pratique.

 

Ordre mathématique et ordre naturel

La notion d’ordre pour évidente qu’elle paraisse ne l’est point. Partons de la notion élémentaire de l’ordre telle que nous la trouvons dans les mathématiques. On sait ce qu’est un ensemble ordonné : c’est un ensemble E muni d’une relation binaire R telle que pour tout x, y, z de E : x R x (réflexivité) ; x R y et y R z ⇒ => x R z (transitivité) ; x R y et y R x => x = y (antisymétrie). Sur l’ensemble des nombres naturels, rationnels et réels, la relation « inférieur ou égal à » définit un ordre strict. On peut aussi se reporter à la définition des nombres ordinaux telle qu’on peut la trouver chez Cantor (voir Sur la théorie des nombres transfinis, éditions Jacques Gabay). Cantor introduit la notion d’ordre après avoir défini celle de puissance ou cardinalité d’un ensemble, en posant que deux ensembles ont même cardinalité s’il existe entre eux une relation bijective. La plus petite cardinalité est celle de l’ensemble vide.

L’ordre en mathématique peut aussi être introduit par la notion de classe. Une classe ou un ensemble (les deux termes sont équivalents) est une manière de placer dans une même classe tous les individus qui satisfont un même prédicat – la fonction caractéristique de l’ensemble. Les mammifères sont l’ensemble des animaux qui satisfont le prédicat « allaitent leurs petits ». La théorie des ensembles, bien plus large que les théories mathématiques classiques, se propose de décrire le réel en l’ordonnant logiquement. À l’intérieur d’un même ensemble, on peut créer des subdivisions au moyen d’une relation d’équivalence : une relation R est une relation d’équivalence si elle est réflexive (aRa, pour tout A), symétrique (aRb → bRa) et transitive (aRb et bRc → aRc). Tous les individus équivalant à un certain individu a forment une classe d’équivalence.

La notion d’ordre telle que les mathématiques nous l’offrent suppose la possibilité de définir un ordre de succession (de deux éléments distincts d’un ensemble l’un a le rang le plus bas et l’autre le rang le plus élevé). Peut-on trouver un tel ordre dans la nature ? Évidemment non. Ou plus exactement, on en peut trouver une infinité. Par exemple, on peut classer les corps célestes selon leur taille ou les êtres vivants selon la date d’apparition des espèces, etc.. Il s’agit là seulement de mesures, purement conventionnelles, correspondant aux intérêts humains et à la curiosité humaine.

On peut cependant penser d’autres types de relation d’ordre qui ne définiraient pas un ordre complet. Par exemple la relation « être cause de » définie sur l’ensemble des faits susceptibles d’être expérimentés scientifiquement. On dira que pour tout fait B, il existe au moins un fait A tel que « A est cause de B ». Sans ordonner tous les faits, une telle relation définirait des chaînes causales plus ou moins indépendantes les unes des autres. Mais là encore, on fera observer que l’incomplétude même de cet ordre le renvoie à la manière humaine dont nous connaissons la nature et nullement à l’ordre de la nature elle-même.

Enfin on verra l’importance des méthodes de classement dans les sciences et là encore il faudra se demander si c’est bien d’un ordre naturel dont il s’agit ou si au contraire ce sont des procédés propres à la manière dont l’esprit humain peut s’approprier intellectuellement la nature ;

Un ordre conçu par un « grand architecte »

L’idée est assez commune selon laquelle la nature en elle-même est ordonnée et que sa connaissance peut révéler cet ordre. Aristote le répète : « la nature ne fait rien en vain ». Les Stoïciens conçoivent le cosmos tout entier comme un « gros animal » dont toutes les parties se répondent en accomplissant chacune sa fonction tout comme les organes du corps accomplissent les différentes fonctions nécessaires à la vie de l’individu. La religion naturelle qui eut tant de faveur au cours du XVIIIe siècle et dont on trouve un exposé dans la Profession de foi du Vicaire Savoyard de Jean-Jacques Rousseau (cf ; Émile ou de l’éducation, IVe partie).

Mon esprit refuse tout acquiescement à l’idée de la matière non organisée se mouvant d’elle-même, ou produisant quelque action.

Cependant, cet univers visible est matière, matière éparse et morte, qui n’a rien dans son tout de l’union, de l’organisation, du sentiment commun des parties d’un corps animé, puisqu’il est certain que nous qui sommes parties ne nous sentons nullement dans le tout. Ce même univers est en mouvement, et dans ses mouvements réglés, uniformes, assujettis à des lois constantes, il n’a rien de cette liberté qui paraît dans les mouvements spontanés de l’homme et des animaux. Le monde n’est donc pas un grand animal qui se meuve de lui-même ; il y a donc de ses mouvements quelque cause étrangère à lui, laquelle je n’aperçois pas ; mais la persuasion intérieure me rend cette cause tellement sensible, que je ne puis voir rouler le soleil sans imaginer une force qui le pousse, ou que, si la terre tourne, je crois sentir une main qui la fait tourner.

S’il faut admettre des lois générales dont je n’aperçois point les rapports essentiels avec la matière, de quoi serai-je avancé  ? Ces lois, n’étant point des êtres réels, des substances, ont donc quelque autre fondement qui m’est inconnu. L’expérience et l’observation nous ont fait connaître les lois du mouvement ; ces lois déterminent les effets sans montrer les causes ; elles ne suffisent point pour expliquer le système du monde et la marche de l’univers. Descartes avec des dés fermait le ciel et la terre ; mais il ne put donner le premier branle à ces dés, ni mettre en jeu sa force centrifuge qu’à l’aide d’un mouvement de rotation. Newton a trouvé la loi de l’attraction ; mais l’attraction seule réduirait bientôt l’univers en une masse immobile : à cette loi il a fallu joindre une force projectile pour faire décrire des courbes aux corps célestes. Que Descartes nous dise quelle loi physique a fait tourner ses tourbillons ; que Newton nous montre la main qui lança les planètes sur la tangente de leurs orbites.

Les premières causes du mouvement ne sont point dans la matière ; elle reçoit le mouvement et le communique, mais elle ne le produit pas. Plus j’observe l’action et réaction des forces de la nature agissant les unes sur les autres, plus je trouve que, d’effets en effets, il faut toujours remonter à quelque volonté pour première cause ; car supposer un progrès de causes à l’infini, c’est n’en point supposer du tout. En un mot, tout mouvement qui n’est pas produit par un autre ne peut venir que d’un acte spontané, volontaire ; les corps inanimés n’agissent que par le mouvement, et il n’y a point de véritable action sans volonté. Voilà mon premier principe. Je crois donc qu’une volonté meut l’univers et anime la nature. Voilà mon premier dogme, ou mon premier article de foi.

Comment une volonté produit-elle une action physique et corporelle ? je n’en sais rien, mais j’éprouve en moi qu’elle la produit. Je veux agir, et j’agis ; je veux mouvoir mon corps, et mon corps se meut ; mais qu’un corps inanimé et en repos vienne à se mouvoir de lui-même ou produise le mouvement, cela est incompréhensible et sans exemple. La volonté m’est connue par ses actes, non par sa nature. Je connais cette volonté comme cause motrice ; mais concevoir la matière productrice du mouvement, c’est clairement concevoir un effet sans cause, c’est ne concevoir absolument rien.

De quel ordre s’agit-il ? Comme il est impossible de concevoir la matière inerte capable de se mouvoir d’elle-même et de d’ordonner elle-même, il faut bien supposer un ordre soumis à une intelligence supérieure. Dans cette conception, les êtres naturels se comprennent à partir de leur finalité qui est l’ordre universel de la nature. La fonction de chaque être lui assigne sa nature.

On le voit : affirmer que tel est l’ordre de la nature revient à affirmer une position métaphysique forte, et en réalité un acte de foi. Mais un acte de foi difficile à récuser. Si l’on objecte que la nature semble soumise plus souvent au désordre, aux changements brutaux, aux catastrophes – comme ces grandes extinctions qui scandent l’histoire de la vie sur la Terre, le partisan de la religion naturelle n’aura pas de mal à supposer que ces grandes catastrophes, ces maux apparents ne sont que des maux plus un plus grand bien. Si les desseins de Dieu sont impénétrables, il faut néanmoins supposer qu’ils existent. La volonté de Dieu – cet « asile de l’ignorance » comme le dit Spinoza – vient fort opportunément au secours de cette métaphysique quand l’épreuve des faits conduirait à la mettre en cause.

En vérité, la religion naturelle et toutes les conceptions philosophiques postulant un ordre prédéfini dans la nature sont rigoureuses irréfutables – « infalsifiables » si on veut garder cette mauvaise traduction de la définition de Popper. Et parce qu’irréfutable, cette conception de la nature ne nous apprend rien – sinon l’art des sophismes permettant de tout justifier après coup.

Le grand livre de la nature

Renonçant à la téléologie et à toutes les formes de finalisme, la science moderne – celle qui se constitue au cours du XVIIe siècle entre Galilée et Newton – repose cependant sur une autre présupposition métaphysique forte. Lorsque Galilée affirme que « le grand livre de la nature est écrit en langage mathématique », il présuppose un ordre sous-jacent au foisonnement coloré du monde sensible, un ordre que les mathématiques nous donnent à connaître. Il faut bien comprendre le caractère de cette hypothèse qui est conservée, moyennant quelques aménagements par un grand nombre de savants contemporains.

Si, théoriquement, la théologie est inutile pour fonder la méthode scientifique moderne, l’idéalisme (« platonicien) radical dont elle témoigne a joué un rôle essentiel. Chez Descartes, la preuve de l’existence de Dieu a une fonction précise : elle est la garantie contre les « extravagantes suppositions des sceptiques » et, du même coup, moyennant l’obéissance scrupuleuse aux règles pour bien connaître son esprit, on peut être assuré, par la science de trouver la vérité. Mais si Dieu nous garantit de la possibilité de la vérité, on se trouve du même coup débarrassé de la nécessité de la garantie du vrai qui prévalait jusque-là, savoir l’autorité de la tradition ... ou le témoignage des sens. Cette voie cartésienne est aussi celle que suivirent les « messieurs de Port-Royal » (Arnaud et Nicolle). Leur opposition sans concession à la réforme, leur volonté de restaurer le christianisme dans toute sa pureté, conduisent, paradoxalement en apparence, Arnauld, Nicole et leurs amis sur le chemin d’un rationalisme critique dont la tradition scolastique fera les frais et qui concourt à la naissance de l’esprit des Lumières.

Par des voies différentes, le Dieu de Leibniz conduit à la même issue. La découverte du calcul infinitésimal qui constitue le noyau dur de la méthode analytique de Leibniz a été l’outil majeur du développement de la science moderne. Mais cette découverte n’était possible que une sorte de saut dans le vide et non à partir seulement des exigences de l’expérience physique. Affirmer que le hasard n’est jamais qu’apparent, que dans toute figure, aussi irrégulière qu’elle puisse paraître, on trouvera la somme d’une série de figures régulières, ce sont là des propositions qu’un matérialisme aurait peiné à formuler. Mais ce sont ces propositions si « théologiques » qui permettent le développement d’une science physique dans laquelle l’hypothèse de Dieu deviendra superflue. Il n’est pas besoin de se forcer pour voir dans tout ce xvii^e siècle rationaliste une des plus admirables figures de la « ruse de la raison » (Hegel).

Cette grandiose métaphysique de la science galiléenne est cette idée à demi-mystique selon laquelle les mathématiques – construction de l’esprit humain – exposent en vérité la structure cachée du réel. Du même coup, le monde sensible se trouve dévalorisé comme monde faux, pure apparence dont il faudrait se défaire pour atteindre au véritable ordre de la nature, ce « tranquille royaume de lois » dont Hegel parlait un peu ironiquement.

La théorie du chaos

L’ordre de la mécanique céleste newtonienne est très vite apparu comme une simplification un peu naïve de la réalité. Les belles lois de la nature peuvent aussi engendre le chaos. La reprise de travaux anciens de Jacques Hadamard (1865-1963) et de Henri Poincaré (notamment sur le problème des « trois corps ») d’un côté, la « théorie des catastrophes », développée en particulier par René Thom, d’un autre côté, enfin les théories de Benoît Mandelbrot sur les fractales ont donné naissance à un ensemble de recherches, baptisé « théorie du chaos ». Cette théorie concerne tous les systèmes physiques qu’on dit « sensibles aux conditions initiales ». Il s’agit, pour aller vite, de systèmes pour lesquels une infime variation des conditions initiales peut modifier du tout au tout le comportement. Les systèmes classiques (de la gravitation à l’électromagnétisme) sont décrits au moyen d’équations différentielles. L’idée intuitive est la suivante : un petite variation des variables données en abscisse s’exprime par une variation calculable de la fonction. On pourrait encore dire que ce genre d’équations expriment des phénomènes pour lesquels des causes à peu près identiques conduisent à des effets à peu près identiques. Prenons une équation de type y = f(x) ; si je connais x₀, il est évidemment facile de connaître y₀. Si x₀ est connu non pas exactement, mais à ∂x près, je peux calculer l’incertitude ∂y de y₀. Pour les systèmes chaotiques, il n’en va pas de même : une variation ∂x de x₀ n’entraîne pas une variation ∂y calculable à l’avance. Il s’agit généralement de systèmes qu’on va dire intrinsèquement complexes – ainsi le système qui décrit les divers paramètres permettant de comprendre l’évolution des divers masses d’air dans l’atmosphère, ou, plus trivialement, l’équation de la trajectoire de la bille de « flipper » en fonction de la manière dont le joueur à laissé revenir le ressort de la poignée de lancement. Ces systèmes sont, du même coup, « sensibles aux conditions initiales ».

Pourtant, dès qu’on a cessé de jouer avec les mots « chaos » ou « catastrophe », il est facile de comprendre que ce « chaos » est un chaos déterministe. Dans le cas de la mécanique quantique, les relations d’incertitude ne traduisent pas un défaut de connaissance, mais la nécessité de changer d’ontologie et de cesser de considérer que les corpuscules de la microphysique sont simplement des versions microphysiques des corps de la mécanique classique ; il y a donc ici le paradoxe d’une indétermination au niveau corpusculaire combinée avec une prédictibilité garantie au niveau du système. Dans le cas de la théorie du chaos, au contraire, nous avons une détermination presque absolue au niveau de chaque élément, mais une impossibilité de prédire l’évolution d’ensemble du système. Dans la mécanique quantique standard, même un dieu ne pourrait connaître simultanément la vitesse et la position d’un électron. Dans la théorie du chaos, c’est parce que nous sommes humains, donc parce que nos instruments de mesure sont imprécis que nous ne pouvons pas prévoir l’évolution du système, mais on considère que les équations sous-jacentes, celles d’un système idéal, sont finalement susceptibles d’une détermination exacte et les calculs pourraient aboutir en y mettant le temps – fût-ce un temps infini !

Bien que non prédictifs, les systèmes chaotiques n’en sont pas moins déterministes dans le sens classique du terme. Par conséquent, l’idée que le théorie du chaos réfuterait la conception classique d’une science déterminisme est privée de consistance. Par contre, elle rend inconnaissable en fait une nature qui serait connaissable endroit.

En réalité ce que touche indirectement la « théorie du chaos », c’est autre chose : l’idée que nous puissions connaître un jour la nature de manière entièrement déterministe, au sens où l’on entend couramment ce terme, est très largement emprunte d’idéalisme. Il n’y aucune raison que le monde soit intégralement bâti sur un modèle mathématique, c’est-à-dire se conforme à un modèle a priori, à moins de penser que les mathématiques sont issues directement de l’observation de la réalité (thèse d’un matérialisme un peu simpliste) ou de poser que l’univers a été construit par un « grand architecte ». Qu’il y ait du flou, de l’indéterminable ou du chaotique dans la science, cela ne devrait pas troubler un matérialiste. Les mathématiques sont, pour nous, un moyen de mettre de l’ordre dans nos observations et présupposent donc que nous soyons capables de procéder aux simplifications nécessaires, en n’oubliant pas qu’il s’agit de simplifications.

Ordre et désordre dans la nature

On peut penser que, dans son ensemble, l’Univers est désordonné généralement et que les structures ordonnées constituent l’exception. Selon la théorie du « big bang » l’univers initial est un univers très chaud dans lequel aucune structure stable comme l’atome ne peut se former. C’est un univers d’entropie maximale. Ce serait l’expansion de l’univers et son refroidissement qui auraient permis que se forment d’abord les atomes d’hydrogène, puis des atomes plus lourds, l’interaction gravitationnelle jouant progressivement un rôle de plus en plus important. Mais d’une autre côté, en raison du second principe de la thermodynamique, l’entropie de l’univers doit croître et, au début du XXe siècle, nombreux étaient les physiciens qui raisonnaient sur la perspective de la « mort thermique de l’univers ».

Comment, dès lors, parler de l’ordre de la nature ? L’ordre n’émergerait que provisoirement et à partir du bruit de fond de l’univers. Dans le chaos, localement peuvent se constituer spontanément des structures ordonnées, si l’agencement des parties de cet ensemble est suffisamment isolé de l’ensemble et peut se maintenir en consommant de l’énergie. La théorie des structures dissipatives de Prigogine explore cette conjoncture.

La réflexion de Prigogine a de nombreux prolongements. Simplifions les conclusions de Prigogine : la vision d’une nature majestueusement ordonnée et finalement toujours retournant à son origine telle qu’en elle-même est une vision qui fait abstraction du temps, c’est-à-dire qu’elle n’admet le temps que comme temps réversible, le « temps spatialisé » que critique déjà Bergson. Admettre au contraire la « flèche du temps », c’est-à-dire un temps irréversible, c’est en même temps renoncer à la recherche d’un ordre global et immuable de la nature. C’est reconstruire une sorte de « dialectique de la nature », dans laquelle ordre et désordre s’engendrent mutuellement.

L’ordre de la connaissance

Admettre l’existence d’un ordre de la nature, on l’a vu, c’est un véritable acte de foi. Pourtant, la connaissance suppose toujours une mise en ordre. S’agit-il d’un ordre existant par lui-même ou est-ce notre esprit qui le constitue ?

Connaître, c’est d’abord classer. La théorie aristotélicienne de la connaissance qui repose sur son ontologie est une théorie de l’ordre et du classement. Si Aristote interdit de fait l’application des mathématiques à la physique, la science aristotélicienne reste une science rigoureuse dont la logique syllogistique est l’expression concentrée. L’être est ordonné hiérarchiquement et la science du niveau le plus élevé est une science architectonique, c’est-à-dire organisatrice, pour les niveaux inférieurs. L’application la plus féconde de cette science aristotélicienne nous est livrée dans l’Histoire des Animaux et dans Les Parties des Animaux. Aristote classe les vivants : les individus qui présentent des similitudes anatomiques et physiologiques suffisantes pour se reproduire entre eux forment des espèces, les espèces apparentées forment des genres, et ainsi de suite jusqu’à la grande division des vivants entre les végétaux et les animaux. Cette méthode de classification qui sera conservée dans ses grandes lignes jusqu’au XXe siècle – notamment après la systématisation que lui fait subit Carl von Linné (1707-1778). Pour Aristote, cette classification est justifiée parce qu’elle découle de l’ordre de choses naturelles. Mais si le travail de classification – une classification refondue par la théorie de l’évolution et la génétique sous le nom de cladistique – reste important, la plupart des biologistes considèrent aujourd’hui que les espèces n’ont en tant que telles aucune réalité. Dans une approche nominaliste, il considèrent que les noms d’espèces (par exemple canis lupus) ne sont que des étiquettes pratiques et non des réalités figées. D’ailleurs, il est assez fréquent qu’un individu classé dans une espèce passe dans une autre ou donne naissance à une nouvelle espèce.

Cet exemple nous montre que la notion d’ordre (ici l’ordre comme classement), c’est que nous ne pouvons connaître qu’en procédant par abstraction – une abstraction raisonnée – et que ce processus d’abstraction est précisément ce que nous appelons ordre. Mais, les notions d’ordre et de désordre sont des notions relatives à notre degré de connaissance, à la connaissance d’information dont nous avons besoin. On peut encore dire les choses autrement : l’ordre que nous trouvons dans la nature, c’est celui que notre esprit y a mis : nous « sélectionnons » parmi les phénomènes ceux qui peuvent être ramenés à des enchaînements réguliers de causes et d’effets. L’expérience des scientifiques est une opération d’abstraction (un dispositif expérimental a pour but d’éliminer tout ce qui perturber le phénomène à observer). On n’arrive avec une théorie et on teste si ça marche !

Notre connaissance de la nature est une connaissance humaine. Elle est limitée par nos propres capacités et l’ordre que nous découvrons n’est pas l’ordre de la nature, mais l’ordre que notre raison met dans la nature. Cette connaissance n’est pourtant pas indéterminée. Si nous comprenons les lois de la nature, nous pouvons agir en utilisant ces lois à notre profit. De ce point de vue, l’ordonnancement des phénomènes selon des lois régulières tel que nous le construisons a bien un rapport avec le réel tel qu’il existe en soi. La preuve du fil à plomb, c’est que le mur ne tombe pas !

Conclusion

Même les destructions que nous causons à notre environnement se font selon les lois de la nature (la bombe atomique est un phénomène naturel tout comme l’effet de serre) et si les hommes détruisent la possibilité de la vie humaine sur terre, ils ne détruiront jamais la Nature. En ce dernier sens, nous pouvons admettre qu’il y a un ordre de la nature, un ordre qui nous dépasse infiniment et nous rappelle à notre finitude : nous pouvons, certes agir sur notre milieu, modifier notre écoumène, mais non échapper à l’ordre de la nature. S’il y a donc un sens à parler d’ordre de la nature, c’est plutôt comme un rappel à l’ordre pour nous mettre en garde contre le phantasme de toute-puissance infantile.

Annexe : ordre, désordre et théorie de l’information

On peut définir les notions d’ordre et de désordre à partir de la théorie de l’information. La théorie moderne de l’information est due d’abord à Claude Shannon. On peut l’exposer de diverses manières, notamment à partir de ses rapports avec la thermodynamique — par exemple dans les travaux de Léon Brillouin ou Olivier Costa de Beauregard. Nous allons donner une autre explication, intuitive, en essayant d’utiliser le moins possible de notions physiques.

Supposons une information quelconque (par exemple un message sensoriel : vision, audition, etc.) ; on postule que cette information peut être codée en binaire comme une succession de zéros et de uns — comme les images ou le son dans les systèmes informatiques. Soit un message de longueur N, on peut toujours le communiquer en recopiant les N éléments binaires (EB, en anglais bits). Mais on peut noter aussi le nombre de zéros, n₀, et le nombre de uns, n₁. Chacun de ces nombres, codé en binaire, occupe au plus log₂N cases. Il faut donc 2 log₂ N cases pour noter les deux nombres n₀ et n₁. Or avec n₀ zéros et n₁ uns, on peut produire N!/(n₀!× n₁!) messages distincts, qu’on peut classer selon un ordre déterminé à l’avance.

Pour transmettre notre message de N bits, il suffira donc de transmettre le nombre de zéros, le nombre de uns, puis le numéro d’ordre du message possible. On montre que, pour transmettre un message de longueur N, assez grand, il faut au plus transmettre -(n₀/N.log₂n_{0 +} n₁/N.log₂n₁) bits. La partie entre parenthèses est la formule de l’entropie du message. Le signe « - », placé devant la formule permet de corriger les logarithmes négatifs et d’obtenir une mesure positive. On peut remplacer les rapports n₀/N et n₁/N par l’expression classique des fréquences : p₀ et p₁. Et on obtient la formule –(p₀.log₂p₀ + p₁.log₂p₁). Si les fréquences p₀ et p₁ sont égales à ½, on voit que l’entropie vaut alors 1. Supposons qu’il y a ¼ de zéros et ¾ de 1, on voit que l’entropie vaut 0,811278. Autrement dit pour transmettre une suite de N bits il suffit de transmettre 0,811278 x N bits. On a un “ gain ” de près de 19%.

A la limite, si le message n’est composé que de zéros (ou que de uns) l’entropie est nulle.

Essayons de traduire cela autrement. Supposons que nous sachions que p₀ = 0, dès lors nous n’avons plus besoin d’autre information, nous savons que la chaîne aussi longue soit elle, est constituée de 1. Donc il ne nous manque aucune information. C’est pourquoi l’entropie est nulle. Inversement si nous savons que p₀ = p₁ = ½, alors nous avons un très grand nombre de messages possibles, nous ne pouvons connaître le message qu’en en recevant une copie complète. L’entropie apparaît donc comme la mesure de l’information qui nous manque. Plus le contenu de l’information (par exemple, l’état d’un système) sera désordonné, plus le message exprimant cette information se rapprochera d’une suite aléatoire de 0 et de 1, également probables. L’entropie sera maximale et l’information sera coûteuse. Inversement, plus le contenu de l’information est ordonné, plus l’information elle-même peut être exprimée de manière condensée et plus elle sera facile à obtenir est à transmettre. L’idée (vague) de désordre peut ainsi trouver une mesure objective et précise : une suite désordonnée de 0 et de 1 est une suite dont l’entropie vaut 1. Inversement, un système est d’autant plus ordonné que l’entropie de l’information permettant de le décrire est proche de 0.

On peut donner une autre illustration intuitive de ce problème. Parmi tous les quadrilatères possibles, le carré est le plus spécifiques, celui qui impose le plus de conditions ; on peut considérer qu’il est le “ plus ordonné ”. On convient que pour tracer un quadrilatère on part du point supérieur gauche et qu’on doit tracer ensuite les côtés en allant vers la droite, puis vers le bas, etc.. Pour définir un carré dans un plan, il suffit de 4 mesures : les coordonnées x₀ et y₀ de son point supérieur gauche, la longueur de ses cotés et l’angle que fait le premier côté par rapport à l’horizontale. Pour définir un rectangle, il faut 6 informations : une supplémentaire pour la largeur et une autre pour dire si le premier côté à tracer est une longueur ou une largeur. On pourra chercher de cette manière le nombre d’informations nécessaires pour tracer un parallélogramme, un trapèze, et enfin un quadrilatère quelconque. Là encore, on peut vérifier que moins il y a d’ordre, plus l’objet est “ quelconque ” et plus il faut d’informations pour le décrire.

Mots-clés : mathématique, entropie, ordre, désordre, nature, information, classification, taxinomie

Ecrit par dcollin le Mardi 29 Décembre 2015, 20:28 dans "Enseigner la philosophie" Lu 8433 fois.

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